CÁLCULO II

Tema 1: Los números complejos

En este tema introducimos los números complejos, analizando la forma usual de operar con ellos y dando su interpretación geométrica así como su relación existente con el cuerpo de los números reales estudiado en Cálculo I.

Contenido tema 1:
1.1 Definición. Operaciones usuales.
1.2. Interpretación geométrica. Módulo.
1.3. Desigualdad triangular.
1.4. Forma polar. Forma exponencial. Ejemplos.
1.5. Potencias y raíces. Ejemplos.
1.6. Métrica usual en el plano complejo.

Objetivos tema 1:
* Saber expresar un número complejo en sus distintas formas.
* Saber operar con números complejos y de manera especial poder calcular la potenciación y radicación.
* Conocer su interpretación geométrica.


Tema 2: Funciones analíticas

Analizaremos las funciones de variable compleja, relacionándolas con el estudio ya realizado en Cálculo I de funciones de varias variables, tanto escalares como vectoriales. Estudiaremos pues, los conceptos de límite, continuidad y derivabilidad. Estudiaremos de manera especial las ecuaciones de Cauchy-Riemann que nos darán condiciones suficientes de derivabilidad. Analizaremos las funciones analíticas, armónicas y la ecuación de Laplace y nos centraremos en las funciones usuales con las que trabajaremos: polinómicas, exponenciales, trigonométricas, logarítmicas,...Todo ello mediante gran número de ejemplos.

Contenido tema 2:
2.1. Funciones de variable compleja. Ejemplos.
2.2. Límite. Propiedades. Ejemplos.
2.3. Continuidad. Ejemplos. Continuidad uniforme.
2.4. Derivabilidad. Ejemplos. Propiedades. Fórmulas de derivación.
2.5. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Condiciones suficientes de derivabilidad.
2.6. Funciones analíticas. Ejemplos.
2.7. Funciones armónicas. Ecuación de Laplace. Ejemplos.
2.8. Funciones elementales: Función exponencial. Funciones trigonométricas. Funciones hiperbólicas. Función logarítmica. Exponentes complejos. Funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas. Ejemplos.

Objetivos tema 2:
* Saber derivar una función de variable compleja. Conocer y saber usar las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
* Saber estudiar la analiticidad de una función.
* Saber cuándo una función es armónica y conocer la ecuación de Laplace.
* Saber trabajar con las funciones elementales: función exponencial, logarítmica, trigonométricas, hiperbólicas,...

Tema 3: Integración de funciones de variable compleja

En este tema nos centraremos en la integración de funciones de variable compleja y de manera especial en las integrales de línea de funciones complejas. Veremos el teorema fundamental del cálculo integral y analizaremos el Teorema de Cauchy-Goursat cuando la función presente singularidades en el interior del dominio sujeto a estudio. Extenderemos dicho estudio a dominios simplemente conexos y múltiplemente conexos. Veremos la aplicación de la fórmula integral de Cauchy para ciertas funciones.

Contenido tema 3:
3.1. Funciones complejas dependientes de un parámetro real. Derivación e integración. Ejemplos.
3.2. Integrales de línea de funciones complejas. Teorema fundamental del cálculo.
3.3. Teorema de Cauchy-Goursat. Extensión a dominios simplemente conexos y multiplemente conexos.
3.4. Fórmula integral de Cauchy. Derivadas de las funciones analíticas. Ejemplos.

Objetivos tema 3:
* Saber parametrizar un camino de integración.
* Tener claro cuando un camino es abierto o cerrado.
* Conocer las curvas planas más usuales y su parametrización: rectas, parábolas, elipses, circunferencias,..
* Saber calcular una primitiva, cuando sea posible.
* Saber aplicar el teorema de Cauchy-Goursat y sus extensiones.
*Aplicar correctamente la fórmula integral de Cauchy.
* Saber interpretar los resultados obtenidos.

Tema 4: Sucesiones y series
Estudiaremos la convergencia de sucesiones y series de variable compleja, centrándonos en primer lugar en las series de Taylor (potencias positivas) pasando a estudiar posteriormente las series de Laurent (potencias positivas y negativas). Veremos las propiedades más interesantes de las series de potencias, en cuanto a su convergencia absoluta y uniforme y, a raíz de ello, en cuanto a la derivación e integración.

Contenido tema 4:
4.1. Convergencia de sucesiones y series. Ejemplos.
4.2. Series de Taylor. Unicidad. Ejemplos.
4.3. Series de Laurent. Ejemplos.
4.4. Convergencia absoluta y uniforme de las series de potencias.
4.5. Integración y derivación de series de potencias. Ejemplos.

Objetivos tema 4:
* Saber calcular los desarrollos de Taylor y Laurent (según proceda) en el entorno de un punto, según los distintos dominios.
* Saber calcular el radio de convergencia.
* Poder aplicar los desarrollos de Laurent a los procesos de derivación e integración de funciones y viceversa.

Tema 5: Residuos y polos
En este tema profundizaremos en los desarrollos de Laurent obtenidos en el tema anterior definiendo los conceptos de residuo y parte principal de una función y por medio del teorema de los residuos su aplicación al cálculo de integrales de funciones de variable compleja sobre un camino cerrado, relacionando este punto con el teorema de Cauchy-Goursat visto anteriormente, de gran aplicación para funciones en las que no se pueda aplicar la fórmula integral de Cauchy. Terminaremos el tema viendo su aplicación al cálculo de integrales reales impropias.

Contenido tema 5:
5.1. Residuos. Teorema de los residuos. Ejemplos.
5.2. Parte principal de una función. Ejemplos.
5.3. Residuos en los polos. Ceros y polos de orden "m". Ejemplos.
5.4. Aplicación al cálculo de integrales reales impropias. Ejemplos.

Objetivos tema 5:
* Saber calcular los residuos de una función.
* Poder obtener la parte principal del desarrollo de Laurent de una función en un punto.
* Saber aplicar el teorema de los residuos al cálculo de integrales sobre caminos cerrados.
* Aplicar correctamente el teorema de los residuos al cálculo de ciertas integrales reales impropias.
* Saber razonar los procedimientos aplicados y valerse mediante las representaciones gráficas correspondientes para su estudio.

Tema 6: Generalidades sobre ecuaciones diferenciales
Con este tema iniciamos la parte de ecuaciones diferenciales, comenzaremos viendo sólo generalidades sobre ecuaciones diferenciales. El estudiante debe saber qué es una ecuación diferencial, conceptualmente hablando. Cuándo la ecuación diferencial es ordinaria o en derivadas parciales, cuál es su orden. Qué se entiende por solución general, particular y singular y qué es un problema de Cauchy.

Contenido tema 6:
6.1. Ecuación diferencial ordinaria. Forma normal. Ejemplos.
6.2. Ecuación diferencial en derivadas parciales. Ejemplos.
6.3. Orden de una ecuación diferencial. Ejemplos.
6.4. Solución general. Problema de Cauchy. Ejemplos.
6.5. Solución particular. Ejemplos.
6.6. Solución singular. Ejemplos.

Objetivos tema 6:
* Saber que es una ecuación diferencial ordinaria y sus distintas formas de expresarse, insistiremos en su forma normal.
* Saber cuándo una ecuación es una ecuación en derivadas parciales.
* Saber lo que es el orden de una ecuación diferencial.
* Saber distinguir entre solución general, particular y singular.
* Saber lo que es un problema de Cauchy.

Tema 7: Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
Nos centraremos en las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Veremos el teorema de existencia y unicidad de Cauchy. Analizaremos algunos tipos de ecuaciones diferenciales: variables separables, homogéneas, lineales y diferenciales exactas. Centrándonos en el estudio de las lineales, tanto homogéneas como completas y estudiando el método de variación de la constante para obtener la solución particular de la completa a través de la solución general de la homogénea. Básicamente lo estudiamos en este punto por ser de gran utilidad para cuando veamos la obtención de una solución particular en el caso de ecuaciones lineales de orden superior, el cual se estudiará en el tema siguiente.

Contenido tema 7:
7.1. Interpretación geométrica de la ecuación diferencial en su forma normal.
7.2. Problema de Cauchy. Ejemplos.
7.3. Teorema de existencia y unicidad local del problema de Cauchy para la ecuación diferencial (teorema de Picard).
7.4. Solución general. Solución particular. Ejemplos.
7.5. Integral general. Integral particular. Ejemplos.
7.6. Construcción de la ecuación diferencial dada su solución general. Ejemplos.
7.7. Soluciones singulares. Envolventes. Ejemplos.
7.8. Teorema de existencia y unicidad global del problema de Cauchy para la ecuación diferencial . Ejemplos.
7.9. Ecuaciones de variables separables. Ejemplos.
7.10. Ecuaciones homogéneas. Ecuaciones reducibles a homogéneas. Ejemplos.
7.11. Ecuaciones lineales:
7.11.1. Ecuación lineal homogénea. Ejemplos.
7.11.2. Ecuación lineal completa. Ejemplos.
7.11.3. Obtención de la solución general de la ecuación lineal completa. Ejemplos.
7.11.4. Método de variación de la constante. Ejemplos
7.12. Ecuación diferencial exacta:
7.12.1. Teorema de caracterización. Ejemplos.
7.12.2. Factores de integración. Ejemplos.
7.13. Ejemplos.

Objetivos tema 7:
* Conocer la interpretación geométrica de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden dada en su forma normal.
* Conocer la interpretación del teorema de existencia y unicidad.
* Saber resolver las ecuaciones diferenciales de los distintos tipos estudiados.
* Saber calcular las soluciones general, particulares y singulares en los distintos casos.
* Poder trabajar correctamente con las ecuaciones lineales, obteniendo la solución general de la ecuación homogénea asociada así como una
solución particular aplicando el método de variación de la constante.
* Distinguir cuando una ecuación es diferencial exacta y obtener su función potencial y a través de ella encontrar la solución general.
* Saber encontrar factores de integración en algunos tipos de ecuaciones diferenciales.
* Poder resolver en todos los casos estudiados los correspondientes problemas de valores iniciales planteados.

Tema 8: Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden superior
Nos centramos en las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden superior. Para lo cual analizaremos en primer lugar la ecuación homogénea asociada, viendo los conceptos de dependencia e independencia lineal de soluciones mediante el Wronskiano, y encontrando el sistema fundamental de soluciones. Relacionaremos estos conceptos con los estudiados en Álgebra sobre dependencia e independencia lineal y bases de un espacio vectorial. A continuación nos centraremos en la ecuación lineal completa y por medio del método de variación de las constantes obtendremos una solución particular de la ecuación completa. Terminaremos el tema analizando de manera especial las ecuaciones homogéneas de coeficientes constantes y cómo obtener un sistema fundamental de soluciones cuando seamos capaces de encontrar las raíces de la ecuación característica, tanto reales como complejas. A continuación veremos cómo encontrar una solución particular de la ecuación completa mediante el método de coeficientes indeterminados sólo de aplicación en algunos casos, según la expresión que adopte el término independiente. Por último comentaremos la ecuación de Euler como un caso de ecuación diferencial que siendo de coeficientes variables se puede transformar mediante un cambio de variable en otra de coeficientes constantes.

Contenido tema 8:
8.1. Generalidades:
8.1.1. Ecuaciones diferenciales de orden n. Ejemplos.
8.1.2. Problema de Cauchy. Ejemplos.
8.1.3. Teoremas de existencia y unicidad del problema de Cauchy para una ecuación diferencial de orden n dada en su forma canónica.
8.1.4. Solución general de la ecuación diferencial de orden n. Solución particular. Curva integral. Integral general. Ejemplos.
8.1.5. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n. Ejemplos.
8.2. Soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden n:
8.2.1. Principio de superposición. Ejemplos.
8.2.2. Dependencia e independencia lineal de funciones escalares. Wronskiano. Ejemplos.
8.2.3. Dependencia e independencia lineal de soluciones. Sistema fundamental de soluciones. Ejemplos.
8.2.4. Construcción de la ecuación lineal homogénea de orden n dado un conjunto fundamental de soluciones. Ejemplos.
8.2.5. Reducción del orden de una ecuación lineal homogénea. Ejemplos.
8.3. Soluciones de una ecuación lineal completa de orden n:
8.3.1. Obtención de la solución general de la ecuación lineal completa. Ejemplos.
8.3.2. Método de variación de las constantes, de los parámetros o de Lagrange. Ejemplos.
8.4. Ecuaciones homogéneas con coeficientes constantes:
8.4.1. Ecuación característica. Ejemplos.
8.4.2. Solución general:
8.4.2.1. La ecuación característica presenta raíces reales y distintas. Ejemplos.
8.4.2.2. La ecuación característica presenta raíces reales múltiples. Ejemplos.
8.4.2.3. La ecuación característica presenta raíces complejas simples. Ejemplos.
8.4.2.4. La ecuación característica presenta raíces complejas múltiples. Ejemplos.
8.4.2.5. La ecuación característica presenta una combinación de los casos anteriores. Ejemplos.
8.5. Ecuación completa con coeficientes constantes:
8.5.1. Método de selección. Ejemplos.
8.6. Ecuación de Euler-Cauchy. Ejemplos.
8.7. Ejemplos.

Objetivos tema 8:
* Saber estudiar la dependencia e independencia lineal de soluciones y poder encontrar un sistema fundamental de soluciones.
* Poder encontrar una ecuación diferencial lineal de orden superior mediante el conocimiento de su sistema fundamental de soluciones.
* Saber resolver las ecuaciones lineales homogéneas de coeficientes constantes, encontrando su ecuación característica y su sistema
fundamental de soluciones, en los distintos casos.
* Saber aplicar el método de variación de las constantes y el de coeficientes indeterminados, según proceda y sea más conveniente, en los
distintos casos.
* Saber resolver una ecuación de Euler.
* Poder aplicar el estudio anterior a la resolución de problemas de contorno.

Tema 9: Transformada de Laplace
En este tema abordaremos la transformada de Laplace, como un operador lineal que nos va a servir de gran ayuda para resolver tanto las ecuaciones diferenciales de orden superior como los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primero orden, todos ellos de coeficientes constantes. Presentando su mayor utilidad en problemas de valores iniciales. Veremos cómo usar dicho operador y cómo descomponer en fracciones simples para poder aplicar el operador inverso de Laplace.

Contenido tema 9:
9.1. Definición de transformada de Laplace. Ejemplos.
9.2. Propiedades de la transformada de Laplace.
9.3. Transformada inversa de Laplace. Ejemplos.
9.4. Transformada de Laplace de las funciones usuales y sus inversas. Ejemplos.
9.5. Aplicaciones de la transformada de Laplace a la resolución de ecuaciones
lineales de orden superior de coeficientes constantes. Ejemplos.

Objetivos tema 9:
* Saber usar el operador de Laplace tanto de forma directa como inversa en la resolución de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior y de coeficientes constantes.

Tema 10: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
En este tema nos centramos en la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden de coeficientes constantes, para lo cual veremos su expresión matricial y cómo se puede transformar en una ecuación diferencial lineal de orden superior, pudiendo resolver dicha ecuación diferencial y, a partir de ella, encontrar la solución del sistema de ecuaciones diferenciales. Y, de manera especial, nos centraremos en la resolución formal de un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden de coeficientes constantes mediante el uso de la transformada de Laplace.

Contenido tema 10:
10.1 Generalidades:
10.1.1 Sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden. Forma normal. Expresión matricial. Ejemplos.
10.1.2 Sistemas lineales homogéneos y completos, con coeficientes constantes o variables. Ejemplos.
10.1.3 Transformación de una ecuación diferencial de orden n en un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden. Ejemplos. Transformación de un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden, cuyos coeficientes sean derivables hasta el orden n, en una ecuación diferencial lineal de orden n. Ejemplos.
10.1.4 Problema de valores iniciales, P.V.I.. Solución de un P.V.I.. Ejemplos.
10.1.5 Teorema de unicidad.
10.2 Aplicaciones de la transformada de Laplace a la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden de coeficientes constantes. Ejemplos.

Objetivos tema 10:
* Poder transformar un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en la correspondiente ecuación lineal de orden superior.
* Saber aplicar la transformada de Laplace en la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer con coeficientes constantes.
* Resolver problemas de valores iniciales mediante el uso de la transformada de Laplace.

Las prácticas que se realizarán en el aula de informática y/o aula de clase son las siguientes: Práctica 1: Variable compleja Práctica 2: Ecuaciones diferenciales Básicamente consistirán en incidir sobre los conceptos básicos de cada parte, bien mediante el programa MAXIMA o mediante ejemplos conceptuales realizados en el aula de clase, donde se plantearán y resolverán ejemplos aclaratorios de la asignatura. Se usará de forma especial el aula virtual para un mejor seguimiento de las mismas. Al término de las cuales se podrá exigir entregar una relación detallada de dichas prácticas para su evaluación. Todas las prácticas se realizarán con MAXIMA

El Programa se presenta en Castellano

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